题目内容
19.已知函数f（x）=ax3+3x2－x+1在R上是减函数，求a的取值范围.
19.本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.
解：求函数f（x）的导数：f′（x）=3ax2+6x－1.
（ⅰ）当f′（x）＜0（x∈R）时，f（x）是减函数.
3ax2+6x－1＜0（x∈R）
a＜0且Δ=36+12a＜0
a＜－3.
所以，当a＜－3时，由f′（x）＜0，知f（x）（x∈R）是减函数；
（ⅱ）当a=－3时，f（x）=－3x3+3x2－x+1=－3（x－
）3+
,
由函数y=x3在R上的单调性，可知
当a=－3时，f（x）（x∈R）是减函数；
（ⅲ）当a＞－3时,在R上存在一个区间，其上有f′（x）＞0，
所以，当a＞－3时，函数f（x）（x∈R）不是减函数.
综上，所求a的取值范围是（－∞，－3］.
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