Question

已知函数f（x）=

3

sinxcosx-cos²x+m（m∈R）的图象过点M（

π

12

，0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移

π

3

个单位，得函数g（x）的图象，若a、b、c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a+c=4，且当x=B时，g（x）取得最大值，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的函数，将M坐标代入求出m的值，确定出解析式，根据正弦函数的单调性即可确定出函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）利用三角函数图象变化规律确定出g（x）的解析式，根据x=B取得最大值，求出B的度数，确定出cosB的值，利用余弦定理列出关系式，根据基本不等式变形，将a+c的值代入，并根据三角形的三边关系求出b的范围即可．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

-

1

2

cos2x+m=sin（2x-

π

6

）+m-

1

2

，
∵点M（

π

12

，0）在函数f（x）的图象上，
∴sin（2×

π

12

-

π

6

）+m-

1

2

=0，
解得：m=

1

2

，
∴f（x）=sin（2x-

π

6

），
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z；
（Ⅱ）根据题意得：g（x）=sin（

1

2

×2x+

π

3

-

π

6

）=sin（x+

π

6

），
∵当x=B时，g（x）取得最大值，
∴B+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，
∴B=

π

3

，
∵a+c=4，cosB=

1

2

，
∴由余弦定理可知b²=a²+c²-2accos

π

3

=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac≥（a+c）²-3×（

a+c

2

）²=16-12=4，
∴b＞2，
又b＜a+c=4，
∴b的取值范围是[2，4）．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，余弦定理，正弦函数的单调性，以及基本不等式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．