Question

（2014•广东模拟）在极坐标系中，圆C₁的方程为ρ=4

2

cos（θ-

π

4

），以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C₂的参数方程

x=-1+αcosθ y=-1+αsinθ

（θ为参数），若圆C₁与C₂相切，则实数a=

±

2

或±5

2

．

Answer 1

分析：先根据ρ²=x²+y²，x=ρcos θ，y=ρsin θ，将圆C₁的方程化成直角坐标方程，再利用同角三角函数关系消去θ，可得圆C₂的直角坐标方程，最后根据圆C₁与圆C₂相切，分为外切的内切两种情况讨论，利用圆心距与半径之间的关系建立方程，求实数a的值．

解答：解：∵圆C₁的方程为ρ=4

2

cos（θ-

π

4

），
∴⊙C₁的方程化为ρ=4cos θ+4sin θ，则ρ²=4ρcos θ+4ρsin θ，
由ρ²=x²+y²，x=ρcos θ，y=ρsin θ，得x²+y²-4x-4y=0，
∴圆心C₁坐标为（2，2），半径r₁=2

2

，
∵圆C₂的参数方程是

x=-1+acosθ y=-1+asinθ

，
∴其普通方程是（x+1）²+（y+1）²=a²，
∴以C₂的坐标是（-1，-1），r²=|a|，
∵两圆相切，
∴当外切时|C₁C₂|=|a|+2

2

=

(2+1)2+(2+1)2

=3

2

，解得a=±

2

，
内切时|C₁C₂|=|a|-2

2

=

(2+1)2+(2+1)2

=3

2

，解得a=±5

2

∴a=±

2

或±5

2

．
故答案为：±

2

或±5

2

．

点评：本题考查参数方程化成普通方程、简单曲线的极坐标方程、圆与圆的位置关系及其应用．解题时要认真审题，把极坐标方程合理地转化为普通方程．