题目内容
过抛物线y2=4x的焦点F引两条互相垂直的直线AB、CD交抛物线于A、B、C、D四点．（1）求当|AB|+|CD|取最小值时直线AB、CD的倾斜角的大小
（2）求四边形ACBD的面积的最小值．
【答案】分析：（1）考虑到过抛物线y2=4x的焦点F引两条互相垂直的直线AB、CD，利用抛物线的极坐标方程解决．先以F为极点，FX为极轴，建立极坐标系，写出抛物线的极坐标方程，利用极径表示出|AB|+|CD|，利用三角函数求解即得；
（2）利用极径结合三角形的面积公式表示出四边形ACBD的面积，利用三角函数的性质即可求解．
解答：解：（1）F为极点，FX为极轴，建立极坐标系，
则抛物线的极坐标方程可写为
…3’
设A（ρ1，θ），则B（ρ2，π+θ）
∴
…2’
同理
…2’
∴
…2’
故当
时，|AB|+|CD|取最小值16，此时AB、CD的倾斜角分别为
，
．
（2）
|AB|．|CD|=
=
…2’
易知：当
时，（SABCD）min=32
注：若以直角坐标系求解可同样给分…4’
点评：本题主要考查了抛物线的应用、简单曲线的极坐标方程，涉及了直线与抛物线的关系．属于基础题．
（2）利用极径结合三角形的面积公式表示出四边形ACBD的面积，利用三角函数的性质即可求解．
解答：解：（1）F为极点，FX为极轴，建立极坐标系，
则抛物线的极坐标方程可写为
…3’设A（ρ1，θ），则B（ρ2，π+θ）
∴
…2’同理
…2’∴
…2’故当
时，|AB|+|CD|取最小值16，此时AB、CD的倾斜角分别为，．（2）
|AB|．|CD|==…2’易知：当
时，（SABCD）min=32注：若以直角坐标系求解可同样给分…4’
点评：本题主要考查了抛物线的应用、简单曲线的极坐标方程，涉及了直线与抛物线的关系．属于基础题．
练习册系列答案
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倾斜角为
的直线过抛物线y2=4x的焦点且与抛物线交于A，B两点，则|AB|=（ ）
| π |
| 4 |
A、
| ||
B、8
| ||
| C、16 | ||
| D、8 |
过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，点O是坐标原点，若|AF|=5，则△AOB的面积为（ ）
| A、5 | ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|