Question

已知A、B是双曲线x²-=1上的两点,O是坐标原点,且满足·=0, =α+(1-α) .

(1)当α=,且=(2,)时,求P点的坐标;

(2)当·=0时,求||的值;

(3)求|AB|的最小值.

Answer 1

解：(1)设=(x,y),则由·=0及点B在双曲线上,得

解得或

∴=(-,1)或=(,-1).

∴=+=(,)或

=+=(,),

即P点的坐标是(,)或(,).

(2)设直线OA的方程为y=kx,则由

得x²=,y²=.

∴|OA|²=x²+y²=.

同理,可得|OB|²=.

由|OP|·|AB|=|OA|·|OB|,得==+=.

∴|OP|=.

(3)方法一:由|OP|·|AB|=|OA|·|OB|,==,

(|OA|²+|OB|²)()≥4,

∴|AB|²≥8.故|AB|≥2,当且仅当|OA|=|OB|=2时,等号成立.

故|AB|的最小值为2.

方法二:由(2)知|AB|²=3〔|AB|²=3(x₁²+x₂²)-4,3x₁²x₂²=4(x₁²+x₂²)-4〕.

设a=x₁²,b=x₂²,则a＞0,b＞0,ab≤()²,

4(a+b)-4≤3()²,a+b≥4或a+b≤.

当a+b≤时,|AB|²≤0(不合,舍去);

当a+b≥4时,|AB|²=3(a+b)-4≥8,|AB|≥2,当且仅当a=b=2,即x₁=x₂=±时取等号.

故|AB|的最小值为2.