Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=1，AD=3，且∠ADC=arcsin

5

5

．
求：（1）三棱锥P-ACD的体积；
（2）直线PC与AB所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）欲求三棱锥P-ACD的体积，只需求出三棱锥的底面积和高，因为底面为直角梯形且下底和高都是已知数，根据∠ADC=arcsin

5

5

，可求出上底，所以底面积易求，又因为PA⊥平面ABCD，所以三棱锥的高为PA，代入体积公式即可．
（2）欲求直线PC与AB所成角的大小，需将两直线平移至一个平面内，可证CE∥AB，在三角形PCE中，计算角PCE的正切值即可得直线PC与AB所成角的正切值

解答：解：（1）做CE⊥AD于E，易得DE=2，∴BC=AE=1
∴△ACD的面积为：S=

1

2

×1×3=

3

2

，∴三棱锥P-ACD的体积V=

1

3

Sh=

1

2

（2）连接PE．
∵AB⊥AD，AB⊥PA，AB⊥平面PAD，则AB⊥PE，
又∵CE∥AB，∴CE⊥PE．
∴∠PCE是直线PC与AB所成的角．
在Rt△PEC中，PE=

2

，CE=1
∴tan∠PCE=

2

，∴∠PCE=arctan

2

即直线PC与AB所成的角大小为arctan

2

．

点评：本题综合考查了三棱锥体积计算公式，几何体中线线所成的角，解题时要善于发现空间线面的关系和大小，善于将立体问题转化为平面问题解决