Question

如图，已知是直角梯形，，，，平面．

(1) 证明：；

(2) 在上是否存在一点，使得∥平面？若存在，找出点，并证明：∥平面；若不存在，请说明理由；

   （3）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）证明见解析（2）存在（3）二面角的余弦值为

解析:

（1）由已知易得，．

    ∵ ， ∴ ，即．

又 ∵ 平面，平面，∴ ．

∵ ，∴ 平面．又∵ 平面，  ∴ ．

 (2) 存在．取的中点为,连结,则∥平面．证明如下：

取的中点为,连结． ∵，， ∴，且，

  ∴四边形是平行四边形，即．

   ∵ 平面，∴ 平面.

       ∵分别是的中点，∴ ．

∵  平面，∴ 平面．∵  ，∴平面平面．

∵  平面，∴平面．

（3）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则有，，，，，，， 

     由题意知，平面，所以是平面的法向量．

     设是平面的法向量，

则，即．

所以可设．所以．

结合图象可知，二面角的余弦值为．