Question

已知函数f（x）=

2

x

+alnx-2（a＞0）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，试求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定函数的定义域，再求导函数，利用曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求出a的值，从而可得函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）对于任意?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，即f（x）_min＞2（a-1）成立，求导函数确定函数y=f（x）的单调区间，从而可得函数的最小值，进而可建立不等式，由此可求a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）
求导函数可得f′(x)=-

2

x2

+

a

x

∴f′（1）=-2+a
∵曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，
∴-2+a=-1
∴a=1
∴f′(x)=-

2

x2

+

1

x

=

x-2

x2

令f′（x）＞0，可得x＞2；令f′（x）＜0，x＞0，可得0＜x＜2
∴函数y=f（x）的单调增区间为（2，+∞），单调减区间为（0，2）；
（Ⅱ）对于任意?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，即f（x）_min＞2（a-1）成立
f′(x)=-

2

x2

+

a

x

=

ax-2

x2

（a＞0）
令f′（x）＞0，可得x＞

2

a

；令f′（x）＜0，x＞0，可得0＜x＜

2

a

∴函数y=f（x）的单调增区间为（

2

a

，+∞），单调减区间为（0，

2

a

）；
∴x=

2

a

时，函数取得极小值且为最小值
∴f（

2

a

）＞2（a-1）
∴ln

2

a

＞1
∴0＜a＜

2

e

∴a的取值范围为(0，

2

e

)．

点评：本题以函数为载体，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查恒成立问题，解题的关键是求导函数确定函数的最值．