Question

（2013•广元一模）已知向量 

m

=（-1，

3

），

n

=（cosx，sinx），x∈R，定义函数 f （x）=

m

•

n

．①求函数 f （x） 的单调增区间；②若A是△ABC的内角，且f （A）=1，求A．

Answer 1

分析：①利用两个向量的数量积公式化简函数f（x）的解析式为2sin（x-

π

6

），由 2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，即可得到f（x）的单调增区间．
②由①知 f（A）=2sin（A-

π

6

）=1，即sin（A-

π

6

）=

1

2

，再由A是△ABC的内角，可得 A-

π

6

=

π

6

，从而求得A的值．

解答：解：①∵函数f（x）=

m

•

n

=（-1，

3

）•（cosx，sinx）=-cosx+

3

sinx=2sin（x-

π

6

），
由 2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z 可得 2kπ-

π

3

≤x≤2kπ+

2π

3

，k∈z，
∴f（x）的单调增区间为[2kπ-

π

3

，2kπ+

2π

3

]，k∈z．
②由①知 f（A）=2sin（A-

π

6

）=1，即 sin（A-

π

6

）=

1

2

，再由A是△ABC的内角，
可得 A-

π

6

=

π

6

，∴A=

π

3

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式应用，正弦函数的增区间，根据三角函数的值求角，属于中档题．