Question

已知函数f（x）的定义域为（-2，2），导函数为f′（x）=x²+2cosx且f（0）=0，则满足f（1+x）+f（x²-x）＞0的实数x的取值范围为

1. A.
   （-1，1）
2. B.
   ）
3. C.
   
4. D.
   ）

Answer 1

A
分析：由导函数可求原函数 f（x）2判断函数f（x）单调性，为单调递增函数，奇偶性为奇函数因为 f（-x）=-f（x）3 奇偶性解不等式将-f（x^2-x）=f（x-x^2）4利用单调性去掉函数符号f 即可解得所求 注意自变量本身范围 有意义
解答：
f'（x）=x^2+2cosx
知f（x）=（1/3）x^3+2sinx+c
f（0）=0，
知，c=0
即：f（x）=（1/3）x^3+2sinx
易知，此函数是奇函数，且在整个区间单调递增，
因为f'（x）=x^2+2cosx在x∈（0，2】＞0恒成立
根据奇函数的性质可得出，在其对应区间上亦是单调递增的f（1+x）+f（x^2-x）＞0
f（1+x）＞-f（x^2-x）
即：f（1+x）＞f（x-x^2）
-2＜x+1＜2（保证有意义）
-2＜x^2-x＜2（保证有意义）
x+1＞x-x^2（单调性得到的）
解得即可
故答案为A
点评：本题较难全面考查函数性质和积分知识综合性很强