Question

在y=2^x，y=log₂x，y=x²，y=（

1

2

）^x这四个函数中，当0＜x₁＜x₂＜1时，使f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

恒成立的函数的个数是

 

．

Answer 1

分析：由题意，根据条件0＜x₁＜x₂＜1时，f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

恒成立得出满足条件的函数的性质，再对照四个函数的性质即可找出满足条件的函数的个数

解答：解：当0＜x₁＜x₂＜1时，使f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

恒成立，说明函数一个递增的越来越慢的函数或者是一个递减的越来越快的函数或是一个先递增得越来越慢，再递减得越来越快的函数，从图象上看，是图象上任意两点的连线所得线段在两点之间的曲线的下方考查四个函数y=2^x，y=log₂x，y=x²，y=(

1

2

)x的图象可得，y=log₂x在（0，1）是递增得越来越慢型，函数y=(

1

2

)x在（0，1）是递减得越来越快型，符合任意两点间的曲线在两点间线段的上方，而y=2^x，y=x²，这两个函数都是递增得越来越快型，图象上任意两点间的连线在两点连线的下方，不符合题意中说明函数一个递增的越来越慢的函数或者是一个递减的越来越快的函数或是一个先递增得越来越慢，再递减得越来越快的函数，从图象上看，是图象上任意两点的连线所得线段在两点之间的曲线的下方不符合题意中数中f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

综上分析知，满足条件的函数有两个．
故答案为：2．

点评：本题考查函数单调性的性质，解答的关键是理解四个函数的性质及对题设中条件的转化，本题考查了转化的思想，本题需要研究函数变化率的变化规律，有一定的难度．