Question

设函数f（x）=2x³-12x+c是定义在R上的奇函数．
（Ⅰ）求c的值及函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

（Ⅰ）因为f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x）．
即-2x³+12x+c=-2x³+12x-c．解得c=0．…（2分）
因为f'（x）=6x²-12，所以切线的斜率k=f'（1）=-6．…（3分）
因为f（1）=-10，所以切点为（1，-10）．…（4分）
所以切线方程为y+10=-6（x-1）．…（5分）
即6x+y+4=0．…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=6x²-12．
所以f′(x)=6x2-12=6(x+

2

)(x-

2

)．…（8分）
列表如下：

x	(-∞，- 2 )	- 2	(- 2 ， 2 )	2	( 2 ，+∞)
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

…（11分）
所以函数f（x）的单调增区间是(-∞，-

2

)和(

2

，+∞)．
因为f（-1）=10，f(

2

)=-8

2

，f（3）=18．
所以f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是f(

2

)=-8

2

．…（13分）