Question

已知函数f（x）=a^x-1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点M，点M在直线

x

m

+

y

n

=1（mn＜0）上，则该直线在两坐标轴上的截距之和的最大值为

3-2

2

．

Answer 1

分析：最值问题经常利用均值不等式求解，适时应用“1”的代换是解本题的关键．函数y=a^x-1+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点M，知M（1，2），点M在直线

x

m

+

y

n

=1上，得

1

m

+

2

n

=1又mn＜0．下用1的变换构造出可以用基本不等式来求最值．

解答：解：由已知定点M坐标为（1，2），由点M在直线

x

m

+

y

n

=1上，
∴

1

m

+

2

n

=1，
又mn＜0，
∴m+n=(

1

m

+

2

n

)（m+n）=3-[（-

n

m

）+（-

2m

n

）]≤3-2•

n m • 2m n

=3-2

2

，
当且仅当

n

m

=

2m

n

时取等号．
故答案为：3-2

2

．

点评：当均值不等式中等号不成立时，常利用函数单调性求最值．也可将已知条件适当变形，再利用均值不等式，使得等号成立．均值不等式是不等式问题中的确重要公式，应用十分广泛．在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．