Question

已知函数f(x)=

lg|x|+mx

x

(x≠0)．
（1）实数m为何值时，f（x）为奇函数？并说明理由；
（2）若函数f（x）的图象与x轴恰有三个不同的公共点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用f（-1）=-f（1）可得m=0，再利用奇函数的定义进行验证即可；
（2）设g(x)=

lg|x|

x

，则当x＞0时，g(x)=

lgx

x

，求导函数，确定函数的单调性，从而确定函数的极值，再利用函数f（x）的图象与x轴恰有三个不同的公共点，建立不等式，即可求实数m的取值范围．

解答：解：（1）由f（-1）=-f（1）可得m=0．     （2分）
所以当m=0时，因为f(x)=

lg|x|

x

，f（-x）=-f（x）．即f（x）为奇函数． （4分）
（2）设g(x)=

lg|x|

x

，则当x＞0时，g(x)=

lgx

x

，可得g′(x)=

lge-lgx

x2

（5分）
令g′（x）=0，可得x=e．                                   （6分）
令g′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜e；令g′（x）＜0，可得x＞e．
所以函数g（x）在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减．         （8分）
由于g（x）为奇函数，所以g（x）函数在（-e，0）上递增，在（-∞，-e）上递减．
且x＞e时，g（x）＞0，x＜-e时，g（x）＜0（9分）
所以有：f极小值(x)=g(-e)+m=-

lge

e

+m，f极大值(x)=

lge

e

+m（10分）
当0＜x＜e时，f（x）＜g（e）+m，当x＞e时，m＜f（x）＜g（e）+m
所以当-e＜x＜0时，f（x）＞g（-e）+m
当x＜-e时，g（-e）+m＜f（x）＜m（11分）
若f（x）图象与X轴恰有三个公共点，则0＜m＜

lge

e

或-

lge

e

＜m＜0（12分）

点评：本题重点考查函数的性质，考查函数的单调性，考查导数知识的运用，考查学生的分析解决问题的能力，需要一定的基本功．