Question

9．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，M为棱AC中点．AB=BC，AC=2，AA₁=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求证：B₁C∥平面A₁BM；
（Ⅱ）求证：AC₁⊥平面A₁BM；
（Ⅲ）在棱BB₁的上是否存在点N，使得平面AC₁N⊥平面AA₁C₁C？如果存在，求此时$\frac{BN}{{B{B_1}}}$的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AB₁交A₁B于O，连结OM，可证OM∥B₁C，又OM?平面A₁BM，B₁C?平面A₁BM，即可证明B₁C∥平面A₁BM．
（Ⅱ）易证AA₁⊥BM，又可证BM⊥AC₁，由AC=2，AM=1，$A{A_1}=\sqrt{2}$，可求∠AC₁C+∠C₁AC=∠A₁MA+∠C₁AC=90°，从而可证A₁M⊥AC₁，从而证明AC₁⊥平面A₁BM．
（Ⅲ）当点N为BB₁中点时，可证平面AC₁N⊥平面AA₁C₁C，设AC₁中点为D，连结DM，DN，可证BM∥DN，由BM⊥平面ACC₁A₁，可证DN⊥平面ACC₁A₁，即可证明平面AC₁N⊥平面ACC₁A₁．

解答 （本小题共14分）
解：（Ⅰ）连结AB₁交A₁B于O，连结OM．
在△B₁AC中，因为M，O分别为AC，AB₁中点，
所以OM∥B₁C．    
又因为OM?平面A₁BM，B₁C?平面A₁BM，
所以B₁C∥平面A₁BM．     …（4分）
（Ⅱ）因为侧棱AA₁⊥底面ABC，BM?平面ABC，
所以AA₁⊥BM．
又因为M为棱AC中点，AB=BC，所以BM⊥AC．
因为AA₁∩AC=A，所以BM⊥平面ACC₁A₁．
所以BM⊥AC₁．
因为M为棱AC中点，AC=2，所以AM=1．
又因为$A{A_1}=\sqrt{2}$，所以在Rt△ACC₁和Rt△A₁AM中，$tan∠A{C_1}C=tan∠{A_1}MA=\sqrt{2}$．
所以∠AC₁C=∠A₁MA，即∠AC₁C+∠C₁AC=∠A₁MA+∠C₁AC=90°．
所以A₁M⊥AC₁．
因为BM∩A₁M=M，
所以AC₁⊥平面A₁BM．                                   …（10分）
（Ⅲ）当点N为BB₁中点时，即$\frac{BN}{{B{B_1}}}=\frac{1}{2}$，平面AC₁N⊥平面AA₁C₁C．
设AC₁中点为D，连结DM，DN．
因为D，M分别为AC₁，AC中点，
所以DM∥CC₁，且$DM=\frac{1}{2}C{C_1}$．
又因为N为BB₁中点，
所以DM∥BN，且DM=BN．
所以BM∥DN，
因为BM⊥平面ACC₁A₁，
所以DN⊥平面ACC₁A₁．
又因为DN?平面AC₁N，所以平面AC₁N⊥平面ACC₁A₁．   …（14分）

点评 本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．