Question

1．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cosC+（cosB-$\sqrt{3}$sinB）cosA=0，
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积S=5$\sqrt{3}$，b=5，求sinBsinC的值．

Answer 1

分析 （1）利用和差化积、诱导公式、三角函数求值即可得出．
（2）利用三角形的面积计算公式、正弦定理余弦定理即可得出．

解答 解：（1）由验证可得：$-cos（{A+B}）+cosBcosA-\sqrt{3}sinBcosA=0$，
化为$sinAsinB-\sqrt{3}sinBcosA=0$，又sinB≠0，
∴$sinA-\sqrt{3}cosA=0$，又cosA≠0，
∴$tanA=\sqrt{3}$，
又0＜A＜π，故$A=\frac{π}{3}$．
（2）∵$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc=5\sqrt{3}$，得bc=20，又b=5，∴c=4．
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=21，故$a=\sqrt{21}$，
又由正弦定理得$sinCsinB=\frac{c}{a}sinA•\frac{b}{a}sinA=\frac{bc}{a^2}{sin^2}A=\frac{5}{7}$．

点评 本题考查了和差化积、诱导公式、三角函数求值、三角形的面积计算公式、正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．