Question

已知数列{a_n}是等比数列，a1a2=

1

3

，a3=

1

9

，数列{b_n}的前n项和S_n满足Sn=3n2+3n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若cn=

bn

an

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题设条件，利用等比数列的通项公式求出等比数列{a_n}的首项和公比，由此能求出{a_n}的通项公式；利用公式b_n=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，结合题设条件能求出{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，cn=

bn

an

=6n•3n-1，由此利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）设等比差数列{a_n}的公比是q
由an=a1qn-1及a1a2=

1

3

，a3=

1

9

，
得

a 2 1 q= 1 3 a1q2= 1 9

，解得

a1=1 q= 1 3

，
∴an=1•(

1

3

)n-1（n∈N^*）…（2分）
故等比数列{b_n}的通项公式是an=1•(

1

3

)n-1（n∈N^*）．…（3分）
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=6n
当n=1时，b₁=S₁=6，符合上式，故b_n=6n（n∈N^*）．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，cn=

bn

an

=6n•3n-1，
∵T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n-1+c_n，
∴Tn=6×1×30+6×2×31+6×3×32+…+6(n-1)•3n-2+6n•3n-1，①
3T_n=6×1×3¹+6×2×3²+6×3×3³+6（n-1）×3^n-1+6n×3ⁿ，②
错位相减，①-②得
-2Tn=6(30+31+32+…+3n-1)-6n×3ⁿ
=6×

30(1-3n)

1-3

-6n×3ⁿ，
∴Tn=-

1

2

[6×

30(1-3n)

1-3

-6n•3n]
=(n-

1

2

)•3n+1+

3

2

=

3

2

•[(2n-1)•3n+1]…（12分）

点评：本题考查等比数列的通项公式和公式b_n=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

的应用，解题时要注意错位相减求和法的合理运用，是中档题．