Question

已知函数g（x）=x³-3tx²-3t²+t（t＞0）
（1）求函数g（x）的单调区间；
（2）曲线y=g（x）在点M（a，g（a））和N（b，g（b））（a＜b）处的切线都与y轴垂直，若方程g（x）=0在区间[a，b]上有解，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）分别解出g′（x）=3x²-6tx＞0（t＞0），g′（x）=3x²-6tx＜0，即可得出单调区间．
（2）由曲线y=g（x）在点M（a，g（a））和N（b，g（b））（a＜b）处的切线都与y轴垂直，可得g′（a）=g′（b）=0，又a＜b，因此a=0，b=2t．
由于方程g（x）=0在区间[0，2t]上有解，由（I）可知g（x）单调递减，于是g（0）g（2t）≤0，解出即可．

解答： 解：（1）由g′（x）=3x²-6tx＞0（t＞0）解得x＜0或x＞2t，由g′（x）=3x²-6tx＜0，解得0＜x＜2t．
∴函数g（x）的单调递增区间为（-∞，0），（2t，+∞）；单调递减区间是（0，2t）．
（2）由曲线y=g（x）在点M（a，g（a））和N（b，g（b））（a＜b）处的切线都与y轴垂直，
∴g′（a）=g′（b）=0，又a＜b，∴a=0，b=2t．
∵方程g（x）=0在区间[0，2t]上有解，由（I）可知g（x）单调递减，
∴g（0）g（2t）≤0，即 t²（3t-1）（4t²+3t-1）≤0，
解得t∈[

1

4

，

1

3

]．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、切线方程，方程的解转化为函数图象的交点、函数的零点，考查了推理能力与计算能力，属于难题．