Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n,点(a_n,S_n)在直线y=x-1上.

(1)求数列{a_n}的通项公式.

(2)在a_n与a_n+1之间插入n个数,使这n+2个数组成公差为d_n的等差数列,求数列的前n项和T_n.

Answer 1

 (1)由题设知,

S_n=a_n-1得S_n-1=a_n-1-1(n∈N^*,n≥2),

两式相减得:a_n=(a_n-a_n-1),

即a_n=3a_n-1(n∈N^*,n≥2),

又S₁=a₁-1,得a₁=2,

所以数列{a_n}是首项为2,公比为3的等比数列,

所以a_n=2·3^n-1.

(2)由(1)知a_n+1=2·3ⁿ,a_n=2·3^n-1,

因为a_n+1=a_n+(n+1)d_n,

所以d_n=,

所以=.

T_n=+++…+,

则T_n=+++…+①,

T_n=++…++②,

①—②得T_n=+++…+-

=+×-=-,

所以T_n=-.