题目内容
【题目】如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC． 
（1）求证：FC∥平面EAD；
（2）求直线AF与平面BCF所成角的余弦值．
【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD与BDEF均为菱形，
∴AD∥BC，DE∥BF．
∵AD平面FBC，DE平面FBC，BC平面FBC，BF平面FBC，
∴AD∥平面FBC，DE∥平面FBC，
又AD∩DE=D，AD平面EAD，DE平面EAD，
∴平面FBC∥平面EAD，
又FC平面FBC，∴FC∥平面EAD．
（2）解：连接FO、FD，∵四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，
∴△DBF为等边三角形，
∵O为BD中点，∴FO⊥BD，
又∵O为AC中点，且FA=FC，∴AC⊥FO，
又AC∩BD=O，∴FO⊥平面ABCD．
由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz
设AB=2，因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，则BD=2，OB=1，OA=OF= 
，
∴O（0，0，0），A（ ，0，0），B（0，1，0），C（﹣ ，0，0），F（0，0， ），
=（ 
）， 
=（ 
）， 
=（﹣ ，0， ），
设平面BCF的一个法向量 
=（x，y，z），
则 
，取x=1，得 =（1，﹣ ，﹣1），
设直线AF与平面BCF所成角为θ，
则sinθ= 
= 
= 
，
∴cosθ= 
= ，
∴直线AF与平面BCF所成角的余弦值为 
．
【解析】（1）由已知得AD∥平面FBC，DE∥平面FBC，从而平面FBC∥平面EAD，由此能证明FC∥平面EAD．（2）连接FO、FD，由OA，OB，OF两两垂直，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出直线AF与平面BCF所成角的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对空间角的异面直线所成的角的理解，了解已知
为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为
，则
．
