Question

已知点P（x，y）的坐标满足

x-4y+3≤0 x+2y≤6 x-1≥0

，设A（1，-1），则|

OP

|cos∠AOP（O为坐标原点）的最大值为

3

4

2

．

Answer 1

分析：先画出满足

x-4y+3≤0 x+2y≤6 x-1≥0

的可行域，再根据平面向量的运算性质，对 |

OP

|cos∠AOP进行化简，结合可行域，即可得到最终的结果．

解答：解：满足

x-4y+3≤0 x+2y≤6 x-1≥0

的可行域如图所示，
又∵|

OP

|•cos∠AOP=|

OP

|•

OA • OP

| OA || OP |

=

OA • OP

| OA |

，
∵

OA

=(1，-1)，

OP

=(x，y)，
∴|

OP

|•cos∠AOP=

x-y

2

=

2

2

(x-y)．
由图可知，平面区域内

2

2

（x-y）值最大的点为（3，

3

2

），

2

2

（x-y）的最大值为：

3

4

2

．
故答案为：

3

4

2

．

点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．