Question

已知函数f（x）=log 

1

2

（ax²+3x+a+1）
（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间及最值；
（2）对于x∈[1，2]，不等式（

1

2

）^f（x）-3x≥2恒成立，求正实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求得函数的定义域为（0，3），令t=-x²+3x，则f（x）=log 

1

2

t，且0＜x＜3．由二次函数的性质可得函数t的单调性，再根据复合函数的单调性规律可得函数f（x）的单调性．利用二次函数的性质求得函数t的最大值，可得函数f（x）的最小值．
（2）由题意可得对于x∈[1，2]，即 ax²+a-1≥0恒成立，即a≥

1

x2+1

恒成立．利用单调性求得函数t=

1

x2+1

在[1，2]上取得最大值，可得正实数a的取值范围．

解答：解：（1）当a=-1时，函数f（x）=log 

1

2

（-x²+3x）的定义域为（0，3），
令t=-x²+3x，则f（x）=log 

1

2

t，且-0＜x＜3．
由二次函数的性质可得，函数t在（0，

3

2

]上是增函数，在[

3

2

，3）上是减函数．
再根据复合函数的单调性规律可得函数f（x）的单调增区间为[

3

2

，3），减区间为（0，

3

2

]．
由于当x=

3

2

时，函数t取得最大值为

9

4

，故函数f（x）的最小值为log

1

2

9

4

=2log

1

2

3

2

．
（2）对于x∈[1，2]，不等式（

1

2

）^f（x）-3x≥2恒成立，
即 ax²+a-1≥0恒成立，即a≥

1

x2+1

恒成立．
由于函数t=

1

x2+1

在[1，2]上是减函数，故当x=1时，函数t=

1

x2+1

在[1，2]上取得最大值为

1

2

，
故a≥

1

2

，即正实数a的取值范围为[

1

2

，+∞）．

点评：本题主要考查复合函数的单调性规律，利用函数的单调性求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．