Question

已知三个数列{F_n}，{k_n}，{r_n}满足：F₁=F₂=1，F_n+2=F_n+1+F_n（n∈N^*），r_n=F_n-3k_n，k_n∈N，0≤r_n＜3，则r₁+r₃+r₅+…+r₂₀₁₁=

1. A.
   1517
2. B.
   1511
3. C.
   1507
4. D.
   1509

Answer 1

D
分析：r_n为F_n除以3所得的余数，依次写出F_n的各项，得到{r_n}的奇数项按1，2，2，1的周期规律排列．项数共有1006个奇数项，由此能够求出结果．
解答：r_n为F_n除以3所得的余数，依次写出F_n的各项
F₁ F₂ F₃ F₄ F₅ F₆ F₇ F₈ F₉ F₁₀ F₁₁ F₁₂ F₁₃ F₁₄ F₁₅
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610
r₁ r₂ r₃ r₄ r₅ r₆ r₇ r₈ r₉ r₁₀ r₁₁ r₁₂ r₁₃ r₁₄ r₁₅
1 1 2 0 2 2 1 0 1 1 2 0 2 2 1
从上面可以看出
r₁=1，r₃=2，r₅=2，r₇=1，r₉=1，r₁₁=2，r₁₃=2，r₁₅=1
{r_n}的奇数项按1，2，2，1的周期规律排列．
项数共有1006个奇数项，故所求和为
251×6+3=1509，
故选D．
点评：本题以裴波拉契数列为背景主要考查归纳猜想，以及抽象概括能力．对式子，r_n=F_n-3k_n的理解是顺利解答本题的关键，对符号意义的抽象概括是目前一般创新题设计的重要素材，要关注抽象的符号题并适当地加以训练．