题目内容

函数f（x ）=αsin
πx
2
+bcos
πx
2
的一个零点为
1
3
，且f（
17
15
）＞f（
11
6
）＞0，对于下列结论：
①f（
7
3
）=0；②．f（x）≤f(
4
3
)；③．f(
13
12
) =f(
19
12
)；
④f（x）的单调减区间是[2k-
2
3
，2k+
4
3
] ，(k∈R)；
⑤f（x）的单调增区间是[4K+
10
3
，4K+
16
3
]  ，(k∈Z)．
其中正确的有
①②③⑤
①②③⑤
．（写出所有正确结论的编号）
分析：利用辅助角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用周期、零点求出辅助角，画出函数的图象，判断①②③④⑤，即可得到正确选项．
解答：解：函数f（x ）=asin
πx
2
+bcos
πx
2
=
a2+b2
sin（
πx
2
+θ）其中tanθ=
b
a
，
因为函数f（x）的周期为4，一个零点为
1
3
，
所以
π
6
+θ=0，θ=-
π
6
，所以函数f（x ）=
a2+b2
sin（
πx
2
-
π
6
），f（
17
15
）＞f（
11
6
）＞0，画出图象，
所以①正确；
②．f(
4
3
)=
a2+b2
sin(
2π
3
-
π
6
) =
a2+b2
，所以f（x）≤f(
4
3
)；正确．
③f(
13
12
) =
a2+b2
sin
9π
24
，
f(
19
12
)=
a2+b2
sin
15π
24
=
a2+b2
sin
9π
24
，所以f(
13
12
) =f(
19
12
)正确；
因为
πx
2
-
π
6
∈[2kπ+
π
2
，2kπ+
3π
2
]，k∈Z，
所以x∈[2k-
2
3
，2k+
4
3
] ，(k∈R)函数不是减函数，④不正确；
因为
πx
2
-
π
6
∈[2kπ-
π
2
，2kπ+
π
2
]k∈Z，
所以x∈[4K+
10
3
，4K+
16
3
]  ，(k∈Z)函数是增函数，⑤正确．
故答案为：①②③⑤．
点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，函数的周期、单调性的应用，考查计算能力．
练习册系列答案
相关题目
给出下列命题：
①y=x2是幂函数        
②函数f（x）=2x-x2的零点有2个
③(x2+
1
x2
+2)5展开式的项数是6项
④函数y=sinx（x∈[-π，π]）图象与x轴围成的图形的面积是S=
∫
π
-π
sinxdx
⑤若ξ～N（1，σ2），且P（0≤ξ≤1）=0.3，则P（ξ≥2）=0.2
其中真命题的序号是
 
（写出所有正确命题的编号）．
已知函数f（x）=
1(1-x)n
，g（x）=aln（x-1），其中n∈N*，a为常数．
（1）当n=2时，求函数F（x）=f（x）+g（x）的极值；
（2）若对任意的正整数n，当s≥2，x≥2时，f（s）+g（x）≤x-1．求a的取值范围．
以O为原点，
OF
所在直线为x轴，建立直角坐标系．设
OF
•
FG
=1，点F的坐标为（t，0），t∈[3，+∞）．点G的坐标为（x0，y0）．
（1）求x0关于t的函数x0=f（t）的表达式，并判断函数f（x）的单调性．
（2）设△OFG的面积S=
31
6
t，若O以为中心，F，为焦点的椭圆经过点G，求当|
OG
|取最小值时椭圆的方程．
（3）在（2）的条件下，若点P的坐标为(0，
9
2
)，C，D是椭圆上的两点，
PC
=λ
PD
(λ≠1)，求实数λ的取值范围．
（2013•湖北）设n是正整数，r为正有理数．
（Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；
（Ⅱ）证明：
nr+1-(n-1)r+1
r+1
＜nr＜
(n+1)r+1-nr+1
r+1
；
（Ⅲ）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如[2]=2，[π]=4，[-
3
2
]=-1．令S=
381
+
382
+
383
+…+
3125
，求[S]的值．
（参考数据：80
4
3
≈344.7，81
4
3
≈350.5，124
4
3
≈618.3，126
4
3
≈631.7)．
精英家教网选作题：考生任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
A 如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．
（I）证明：△ABE∽△ADC
（II）若△ABC的面积S=
1
2
AD•AE，求∠BAC的大小．
B 已知曲线C1：
x=-4+cost
y=3+sint
（t为参数），C2：
x=8cosθ
y=3sinθ
（θ为参数）．
（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C1上的点P对应的参数为t=
π
2
，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：
x=3+2t
y=-2+t
（t为参数）距离的最小值．                
C 已知函数f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

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