Question

如图，四棱锥P-ABCD，底面^BCZ）是边长为2的菱形，其中∠ADC=60°，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=3，E是PD的中点
（I ）求证直线PB∥平面ACE
（II）求点P到平面ACE的距离；
（III）求二面角E-AC-D的大小．

Answer 1

分析：以FC为x轴，FD为y轴，FP为z轴建立空间坐标系，如图所示，在此坐标系下，给出各点的坐标
（I ）求证直线PB∥平面ACE，只须证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且线不在面内即可得出线面平行；
（II）求点P到平面ACE的距离，可求出此点与面内一点边线的线段对应的向量的坐标，然后求这个向量在平面的法向量上的投影，投影的长度即所求的点面距离；
（III）求二面角E-AC-D的大小，可求出两个平面的法向量，再求出两个向量夹角的余弦的绝对值，利用反三角函数表示出来即可．

解答：解：取AD的中点F，边PF，FC，由于侧面PAD垂直于底面ABCD，且PA=PD=3，底面ABCD是边长为2的菱形，其中角ADC=60°
所以PF⊥面ABCD，FC⊥AD
以FC为x轴，FD为y轴，FP为z轴建立空间坐标系，如图所示，则P（0，0，2

2

），A（0，-1，0），D（0，1，0），C（

3

，0，0），E（0，

1

2

，

2

），由

AD

=

BC

得：B（

3

，-2，0），

AC

=（

3

，1，0），

AE

=（0，

3

2

，

2

）
设平面ACE的法向量为

n

=（x，y，z）则：

AC • n =0 AE • n =0

，即

3x +y=0 3 2 x+ 2z =0

得

n

=（-4，4

3

，-3

6

）
（I ）

PB

=（

3

，-2，-2

2

）故

PB

•

n

=-4

3

-8

3

+12

3

=0又PB不在面ACE内，所以直线PB∥平面ACE．
（II）

AP

=（0，1，2

2

），故点P到平面AEC的距离是d=|

AP • n

n

|=

8 3

118

=

4 354

59

（III）取平面ACD的法向量为

m

=（0，0，1），设向量

m

，

n

的夹角为θ，则cosθ=|

m • n

| n || m |

|=

3 6

118

=

3 177

59

二面角E-AC-D的大小arccos

3 177

59

点评：本题考查二面角的平面角及求法，解题的关键是建立恰当的空间坐标系，给出相应点的坐标，求出面的法向量与线的方向向量，然后利用向量的知识判断线面平行，求点到面的距离，及面与面所成的二面角，此是向量在立体几何中的重要应用，本题中涉及了基本的三个重要题型，此题也是高考考查的重要形式