题目内容
已知函数f(x)=| x-1 | x-2 |
（1）求f（2x+2）的解析式，并求其定义域
（2）判断函数f（x）在x∈（2，+∞）上的单调性，并证明．
分析：（1）用整体代入法求函数的解析式，根据使函数有意义的x的取值范围求其定义域来解决．
（2）在区间上任取两个变量，且界定大小，再作差变形与零比较即可，要注意变形要到位．
（2）在区间上任取两个变量，且界定大小，再作差变形与零比较即可，要注意变形要到位．
解答：解：（1）∵函数f(x)=
∴f(2x+2)=1+
，该函数的定义域是{x|x≠0}
（2）设x1，x2∈（2，+∞）且x1＜x2
∴f(x1) -f(x2) =
-
=
＜0
f（x1）-f（x2）=
-
=
＞0
∴函数f（x）在x∈（2，+∞）上是减函数．
| x-1 |
| x-2 |
∴f(2x+2)=1+
| 1 |
| 2x |
（2）设x1，x2∈（2，+∞）且x1＜x2
∴f(x1) -f(x2) =
| x1-1 |
| x1-2 |
| x2-1 |
| x2-2 |
| x1-x2 |
| (x1-2)(x2-2) |
f（x1）-f（x2）=
| x1-1 |
| x1-2 |
| x2-1 |
| x2-2 |
| x2-x1 |
| (x1-2)(x2-2) |
∴函数f（x）在x∈（2，+∞）上是减函数．
点评：本题主要考查函数单调性的判断与证明，以及应用单调性求函数的最值，同时还考查了学生的变形，转化能力，属中档题．要注意自变量所在的区间的任意性和作差的时的变形要到位．
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