Question

已知圆x²+y²=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.

(1)求线段AP中点的轨迹方程;

(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.

Answer 1

（1）线段AP中点的轨迹方程为(x-1)²+y²=1.

（2）线段PQ中点的轨迹方程为x²+y²-x-y-1=0

解析:

(1)设AP中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y).

∵P点在圆x²+y²=4上,∴(2x-2)²+(2y)²=4.

故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)²+y²=1.

(2)设PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中,

|PN|=|BN|,设O为坐标原点,连结ON,则ON⊥PQ,

所以|OP|²=|ON|²+|PN|²=|ON|²+|BN|²,

所以x²+y²+(x-1)²+(y-1)²=4.

故线段PQ中点的轨迹方程为x²+y²-x-y-1=0.