Question

函数f(x)=

2x3+3x2+1(x≤0) aex(x＞0)

在[-2，2]上的最大值为2，则a的范围是（　　）

• A．[

  2

  e2

  ，+∞)
• B．[0，

  2

  e2

  ]
• C．（-∞，0]
• D．(-∞，

  2

  e2

  ]

Answer 1

分析：由题意，可分段研究函数的最值，先确定出函数的单调性，确定出每一段上函数的最大值，令最大值小于等于2，即可解出a的取值范围得出正确选项

解答：解：由题意，当x≤0时，f（x）=2x³+3x²+1，可得f′（x）=6x²+6x，解得函数在[-1，0]上导数为负，在[-∞，-1]上导数为正，故函数在[-2，0]上的最大值为f（-1）=2
当x＞0时，f（x）=ae^x，若a＜0，则函数在（0，2]上为负，符合题意，若a=0，显然符合题意，当a＞0时，函数是一个增函数，必有ae²≤2，故有a≤

2

e2

综上得a的范围是(-∞，

2

e2

]
故选D

点评：本题考查利用导数确定函数在闭区间上的最值，解不等式，本题是一个分段函数，此类函数的最值要分段研究，此是解本题的重点，解题的关键是对a的符号分类讨论，确定出函数的最值，本题考查了分类讨论的思想及转化的思想