Question

【题目】已知函数f（x）= 在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求实数a的值及f（x）的极值；
（Ⅱ）是否存在区间（t，t+ ）（t＞0），使函数f（x）在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）如果对任意的 ，有|f（x1）﹣f（x2）|≥k| |，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（I）由f（x）= ，得 ．
∵f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，
∴ ，
∴a=1，
∴ ，x＞0，
．
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，
故f（x）在x=1处取得极大值1，无极小值；
（Ⅱ）∵x＞1时， ，
当x→0时，y→﹣∞，
由（I）得f（x）在（0，1）上单调递增，
∴由零点存在原理，f（x）在区间（0，1）存在唯一零点，函数f（x）的图象如图所示：

∵函数f（x）在区间（t，t+ ），t＞0上存在极值和零点．
∴ ，解得 ．
∴存在符合条件的区间，实数t的取值范围为（ ）；
（ III）由（I）的结论知，f（x）在[e2 ， +∞）上单调递减，
不妨设 ，则|f（x1）﹣f（x2）|≥k| |，则 ．
∴ ．
∴函数F（x）=f（x）﹣ 在[e2 ， +∞）上单调递减，
又 ，
∴ 在[e2 ， +∞）上恒成立，
∴k≤lnx在[e2 ， +∞）上恒成立．
在[e2 ， +∞）上 ，
k≤2．
【解析】（Ⅰ）由函数f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行求得a的值，然后利用函数的导函数的符号求出函数的单调期间，则函数的极值可求；（Ⅱ）假设存在区间（t，t+ ）（t＞0），使函数f（x）在此区间上存在极值和零点，则得到 ，解此不等式组求得t的取值范围；（Ⅲ）由（I）的结论知，f（x）在[e2 ， +∞）上单调递减，然后构造函数F（x）=f（x）﹣ ，由函数在[e2 ， +∞）上单调递减，则其导函数在在[e2 ， +∞）上恒成立，由此求得实数k的取值范围．