Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量

p

=（sinA，b+c），

q

=（a-c，sinC-sinB），满足|

p

+

q

|=|

p

-

q

|．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设

m

=（sin（C+

π

3

），

1

2

），

n

=（2k，cos2A） （k＞1），

m

•

n

有最大值为3，求k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由条件|

p

+

q

|=|

p

-

q

||可得，

p

•

q

=0，代入得（a-c）sinA+（b+c）（sinC-sinB）=0，
根据正弦定理，可化为a（a-c）+（b+c）（c-b）=0，结合余弦定理a²+c²-b²=2acosB，代入可求：
（Ⅱ）先求

m

•

n

=2ksin（C+

π

3

）+

1

2

cos2A=2ksin（C+B）+

1

2

cos2A
=2ksinA+cos²A-

1

2

=-sin²A+2ksinA+

1

2

=-（sinA-k）²+k²+

1

2

（k＞1）．
结合0＜A＜

2

3

π，及二次函数的知识求解，

解答：解：（Ⅰ）由条件|

p

+

q

|=|

p

-

q

|，两边平方可得，

p

•

q

=0

p

=（sinA，b+c），

q

=（a-c，sinC-sinB），代入得（a-c）sinA+（b+c）（sinC-sinB）=0，
根据正弦定理，可化为a（a-c）+（b+c）（c-b）=0，
即a²+c²-b²=ac，又由余弦定理a²+c²-b²=2acosB，所以cosB=

1

2

，B=60°．
（Ⅱ）

m

=（sin（C+

π

3

），

1

2

），

n

=（2k，cos2A）（k＞1），

m

•

n

=2ksin（C+

π

3

）+

1

2

cos2A=2ksin（C+B）+

1

2

cos2A
=2ksinA+cos²A-

1

2

=-sin²A+2ksinA+

1

2

=-（sinA-k）²+k²+

1

2

（k＞1）．
而0＜A＜

2

3

π，sinA∈（0，1]，故当sinA=1时，m•n取最大值为2k-

1

2

=3，得k=

7

4

．

点评：本题主要考查了向量数量积极的坐标表示，余弦定理解答三角形，及含参数的二次函数的最值的求解，属于知识的综合运用，属于中档试题．