Question

【题目】设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在上是单调函数；②在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”．下列结论错误的是（ ）

A. 函数存在“和谐区间”

B. 函数不存在“和谐区间”

C. 函数存在“和谐区间”

D. 函数 （且）不存在“和谐区间”

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：利用函数单调性的判别方法，逐个选项检验函数是否存在单调区间。若函数在上的值域是，则方程应该有两个根。

详解： 对于选项A，存在区间[0,2]， 在上是单调增函数；②在上的值域是，故A正确；

对于选项B，假设存在区间，函数在区间上为增函数，

由在上的值域是，可得，

解得 ，这与矛盾，故假设错误，所以选项B正确；

对于选项C，由函数，可得

。

取区间，在此区间上，

所以函数在区间上为增函数。

因为 成立，

所以函数在区间上的值域为.

所以选项C正确。

对于选项D，不妨设,则函数在定义域内为单调增函数。

若存在“和谐区间”，则由得，

所以是方程的两个根，

即是方程的两个根。

因为该方程有两个正根，所以存在“和谐区间”。所以选项D错。

所以选D。