Question

已知当椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b时，椭圆的面积是πab．请针对椭圆

x2

25

+

y2

16

=1，求解下列问题：
（1）若m，n是实数，且|m|≤5，|n|≤4．求点P（m，n）落在椭圆内的概率；
（2）若m，n是整数，且|m|≤5，|n|≤4．求点P（m，n）落在椭圆外的概率以及点P落在椭圆上的概率．

Answer 1

分析：（1）当m，n是实数，属于几何概型，求出|m|≤5，|n|≤4时，所有形如（m，n）的点覆盖的图形的面积，椭圆围成的区域的面积，就可求得点P（m，n）落在椭圆内的概率；
（2）当m，n是整数，属于古典概型，求出|m|≤5，|n|≤4时，点P（m，n）的个数，落在椭圆上点的个数，即可求得点P（m，n）落在椭圆上的概率；当m＞0，n＞0时，共有4×9=36个点在椭圆外，故可求点P（m，n）落在椭圆外的概率．

解答：解：（1）当m，n是实数，且|m|≤5，|n|≤4时，所有形如（m，n）的点覆盖的图形的面积是80．
椭圆围成的区域在其内部，且面积为20π． 
故点P（m，n）落在椭圆内的概率为

20π

80

=

π

4

（2）当m，n是整数，且|m|≤5，|n|≤4时，点P（m，n）共有11×9=99个，其中点（0，4），（0，-4），（5，0），（-5，0）四点落在椭圆上．
故点P（m，n）落在椭圆上的概率为

4

99

当m＞0，n＞0时，点（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（4，3）（4，4），（3，4），（2，4）（1，4）共9点在椭圆外．
由对称性知，当m，n是整数，且|m|≤5，|n|≤4时，共有4×9=36个点在椭圆外．
故点P（m，n）落在椭圆外的概率是

36

99

=

12

33

．

点评：本题考查几何概型与古典概型，区分的关键是基本事件的有限性与无限性，属于中档题．