Question

已知双曲线的中心在原点，两个焦点为F1(-

5

，0)和F2(

5

，0)，P在双曲线上，满足

PF1

•

PF2

=0且△F₁PF₂的面积为1，则此双曲线的方程是

 

．

Answer 1

分析：设|PF₁|=x，|PF₂|=y，根据

PF1

•

PF2

=0判断出∠PF₁F₂=90°进而根据三角形面积公式求得xy，最后根据勾股定理求得x²+y²的值，
进而求得y-x，根据双曲线定义求得a，最后根据a和c求得b，双曲线方程可得．

解答：解：设|PF₁|=x，|PF₂|=y，x＞y，
∵

PF1

•

PF2

=0
∴∠PF₁F₂=90°
∴

1

2

xy=1，xy=2
∵F₁F₁=2

5

∴x²+y²=20
∴y-x=

x2+y2-2xy

=4
∵y-x=2a=4
∴a=2
∴b=

c2-a 2

=1
∴双曲线方程为

x2

4

- y2=1
故答案为

x2

4

- y2=1

点评：本题主要考查了双曲线的标准方程．解题的关键是利用椭圆的定义求得a．