Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的离心率为

2

2

，F₁，F₂分别为椭圆C的左右焦点，且F₂到椭圆C的右准线l的距离为1，点P为l上的动点，直线PF₂交椭圆C于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求△F₁AB的面积S的取值范围；
（Ⅲ）设

AF2

=λ

F2B

，

AP

=μ

PB

，求证λ+μ为定值．

Answer 1

分析：（1）根据离心率求得a和c的关系，进而根据F₂到椭圆C的右准线l的距离为1和a²=b²+c²求得a和b，椭圆的方程可得．
（2）可设动点P的坐标为（2，m），求得焦点坐标，进而可得直线PF₂的方程与椭圆方程联立消去y，设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），根据伟大定理可表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而表示出|AB|和点F₁到直线PF₂的距离，进而可得△F₁AB的面积S的表达式，根据m确定S的取值范围．
（3）根据

AF2

=λ

F2B

，

AP

=μ

PB

，可求得λ和μ的表达式，进而把x₁+x₂和x₁x₂代入λ+μ中求得λ+μ=0，原式得证．

解答：解：
（Ⅰ）由题意得

c a = 2 2 a2=b2+c2 a2 c -c=1

，
解得a=

2

，b=1，c=1，
所以椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）因为右准线l的方程为x=

a2

c

=2，
所以可设动点P的坐标为（2，m），由（Ⅰ）知焦点F₁，F₂的坐标分别（-1，0），（1，0），
所以直线PF₂的方程为y=m（x-1）．
设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由

y=m(x-1) x2 2 +y2=1

得（1+2m²）x²-4m²x+2m²-2=0，
于是x1+x2=

4m2

1+2m2

，x1x2=

2m2-2

1+2m2

．
所以|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2 2 (1+m2)

1+2m2

．
点F₁到直线PF₂的距离d=

2|m|

1+m2

，
所以△F₁AB的面积S=

1

2

|AB|d=

2 2 |m| 1+m2

1+2m2

，S2=

8m2(1+m2)

(1+2m2)2

=

2(1+2m2)2-2

(1+2m2)2

=2-

2

(1+2m2)2

，
由题知m∈R且m≠0，于是0＜S＜

2

，
故△F₁AB的面积S的取值范围是(0，

2

)．

（Ⅲ）由（Ⅱ）及

AF2

=λ

F2B

，

AP

=μ

PB

，得（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），（2-x₁，m-y₁）=μ（x₂-2，y₂-m），
于是λ=

1-x1

x2-1

，μ=

2-x1

x2-2

，
所以λ+μ=

1-x1

x2-1

+

2-x1

x2-2

=

3(x1+x2)-2x1x2-4

(x2-1)(x2-2)

．
因为3(x1+x2)-2x1x2-4=

12m2

1+2m2

-

4m2-4

1+2m2

-4=0，
所以λ+μ=0，即λ+μ为定值0．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程．当涉及直线与圆锥曲线的关系时，常需要把直线方程和圆锥曲线方程联立，根据伟大定理找到解决问题的途径．