Question

已知函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），若数列：2，f（a₁），f（a₂），…，f(an)，2n+4(n∈N*)成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）若0＜a＜1，数列{a_n}的前n项和为S_n，求

lim

n→∞

Sn；
（3）若a=2，令b_n=a_n•f（a_n），对任意n∈N*，都有bn＞f-1(t)，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用数列：2，f（a₁），f（a₂），…，f(an)，2n+4(n∈N*)成等差数列，推出数列的公差，求出f（a_n），利用对数关系，求出数列{a_n}的通项a_n；
（2）求出数列的前n项和，利用若0＜a＜1，直接求解

lim

n→∞

Sn；
（3）利用a=2，求出b_n=a_n•f（a_n）的表达式，利用对任意n∈N*，都有bn＞f-1(t)，得到2⁶＞2^t，然后求实数t的取值范围．

解答：解：（1）2n+4=2+（n+2-1）d，
∴d=2，
∴f（a_n）=2+（n+1-1）•2=2n+2，
∴an=a2n+2．
（2）因为an=a2n+2，数列是等比数列，首项为a1=a4，公比为a²，
所以Sn=

a4(1-a2n)

1-a2

，
所以

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

 

a4(1-a2n)

1-a2

=

a4

1-a2

．
（3）由已知与（2）可得：
bn=an•f(an)=(2n+2)a2n+2=(2n+2)•22n+2=(n+1)•22n+3．

bn+1

bn

=

n+2

n+1

•4＞1，
∴b_n+1＞b_n．
∴{b_n}为递增数列
∴b_n中最小项为b1=2•25=26，f-1(t)=2t，
∴2⁶＞2^t，
∴t＜6．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，数列的极限，数列的基本性质的应用，考查转化思想，计算能力．