Question

已知函数f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx．
（1）求函数f（x）定义在[-

π

6

，

π

3

]上的值域．
（2）在△ABC中，若f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA的值．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，再由x的范围求得2x+

π

6

的范围，最后根据正弦函数的性质可求得f（x）的值域．
（2）将C代入到函数f（x）中可求得C的值，进而可得到A+B的值，再结合2sinB=cos（A-C）-cos（A+C）运用两角和与差的公式即可得到tanA的值．

解答：解：（1）f（x）=1+cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）+1
∵-

π

6

≤x≤

π

3

∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5

6

π
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1；
∴f（x）∈[0，3]．
即f（x）的值域为[0，3]
（2）由f（C）=2得2sin（2C+

π

6

）+1=2，∴sin（2C+

π

6

）=

1

2

．
∵0＜C＜π∴

π

6

＜2C+

π

6

＜

13

6

π
∴2C+

π

6

=

5π

6

∴C=

π

3

∴A+B=

2π

3

．
又∵2sinB=cos（A-C）-cos（A+C）
∴2sinB=2sinAsinC
∴2sin(

2π

3

-A)=

3

sinA
即

3

cosA+sinA=

3

sinA
∴(

3

-1)sinA=

3

cosA
∴tanA=

3

3 -1

=

3+ 3

2

．

点评：本题主要考查二倍角公式、两角和与差的公式的应用，考查正弦函数的值域的求法．高考对三角函数的考查以基础题为主，一定要加强基础知识的夯实．