Question

【题目】已知函数，（）.

（Ⅰ）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；

（Ⅱ）设，若，若函数对恒成立，求实数的取值范围.（是自然对数的底数，）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）首先确定函数定义域为，求出导数；当时，可知函数单调递增，根据可知满足题意；当时，可求得导函数的零点；当零点可知满足题意；当或结合函数的单调性和零点存在性定理可判断出存在不止一个零点，不满足题意；综合上述情况得到结果；（Ⅱ）当时，可知，得到，满足题意；当时，根据符号可知单调递增，由零点存在性定理可验证出，使得，从而得到在上单调递减，则，不满足题意，从而得到结果.

（Ⅰ）由题意得：定义域为，则

①当时，恒成立 在上单调递增

又 有唯一零点，即满足题意

②当时

当时，；当时，

即在上单调递减，在上单调递增

⑴当，即时，，有唯一零点，满足题意

⑵当，即时，

又，且

，使得，不符合题意

⑶当，即时，

设，，则

在上单调递增 ，即

又 ，使得，不符合题意

综上所述：的取值范围为：

（Ⅱ）由题意得：，则，

①当时，由得：恒成立

在上单调递增

即满足题意

②当时，恒成立 在上单调递增

又，

，使得

当时，，即在上单调递减

，则不符合题意

综上所述：的取值范围为：