Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，过点（-

3

，

1

2

）离心率e=

3

2

．
（1）求椭圆方程；
（2）若过点（1，0）的直线l与椭圆C交于E，F两点，且以EF为直径的圆过原点，试求直线l方程；
（3）过点A（3，0）作直线与椭圆交于B，C两点且x_B+x_C=2，若直线L：y=kx+m是直线BC垂直平分线，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用条件建立方程，求解a，b．
（2）设出直线方程，利用EF为直径的圆过原点，确定直线的斜率．
（3）出直线方程，利用x_B+x_C=2和y=kx+m是直线BC垂直平分线，确定m的取值范围．

解答：解：（1）因为椭圆过点（-

3

，

1

2

），所以

3

a2

+

1

4b2

=1，…（1分）
又离心率e=

c

a

=

3

2

，…（3分）
解得a=2，b=1，所以椭圆方程：

x2

4

+y2=1…（4分）
（2）由题义得OE⊥OF，…（5分）
L：y=k（x-1），
代入

x2

4

+y2=1得：（1+4k²）x²-8k²x+4（k²-1）=0 　①…（6分）
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则x₁x₂+y₁y₂=0，
即x1x2+k2[x1x2-(x1+x2)+1]=0 　　②
由①得x1x2=

4(k2-1)

1+4k2

，x1+x2=

8k2

1+4k2

，
代入②得：

k2-4

1+4k2

=0，即k²-4=0，解得k=±2，所以l：y=2x-2或y=-2x+2…（8分）
（3）设BC的中点D（x₀，y₀），B（x_B，y_B）、C（x_C，y_C ），
则x_B+x_C=2x₀=2，所以  x₀=1，y_B+y_C=2y₀…（9分）
又

x 2 B

4

+

y

2 B

=1，

x 2 C

4

+

y

2 C

=1，
两式相减得

x 2 C - x 2 B

4

+

y

2 C

-

y

2 B

=0，即kBC=-

1

4y0

…（10分）
即kl=-

1

kBC

=4y0，l：y=4y₀+m
当x=1时，y₀=4y₀+m，即 y0=-

m

3

，
D（1，-

m

3

）在椭圆内

1

4

+(-

m

3

)2＜1   …（12分）
得-

3 3

2

＜m＜

3 3

2

…（14分）

点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用，利用直线和椭圆方程联立，利用根与系数之间的关系是解决直线与圆锥曲线问题中常用的方法，运算量较大，综合性较强．