Question

函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f(

1

2

+x)=f(

1

2

-x)，则f（1）+f（2）+…+f（2009）=

0

．

Answer 1

分析：根据题意可推出f（1-x）=f（-x）且f（-x）=-f（x），得到f（x）是周期为2的函数，且f（-1）+f（0）+f（1）=0，故可得 f（1）+f（2）+f（3）+…+f （2009 ）=669×0+f（1）+f（2）=f（1）+f（-1）．

解答：解：∵f(

1

2

+x)=f(

1

2

-x)，
∴f（-x）=f（1+x），
又函数f（x）是定义在R上的奇函数
∴-f（x）=f（-x），且f（x）=f（x+2）
∴f（-1）=f（1）=-1，∴f（-1）+f（0）+f（1）=0．
又 2009=669×3+2，故 f（1）+f（2）+f（3）+…+f （2009 ）
=669×0+f（1）+f（2）=f（1）+f（-1）=0，
故答案为0．

点评：本题考查函数的对称性、周期性，及函数值，推出f（x）=f（x+2）且f（-x）=f（-x），是解题的关键．