Question

已知数列{a_n}的前n项和是S_n 且，数列{b_n}的前n项和是T_n且．n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{b_n}是等比数列；
（3）记c_n=a_n•b_n，求证：当n≥2时，数列{c_n}是递减数列．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用，由，能求出a_n．
（2）由T_n=1-，当n=1时，解得；当n≥2时，，由此能够证明数列{b_n}是等比数列．
（3）由a_n=4n-2，b_n=，知c_n=a_n•b_n=（4n-2）•=．由此能够证明c_n+1≤c_n．
解答：（1）解：∵数列{a_n}的前n项和是S_n 且，
∴a₁=S₁=2，
a_n=S_n-S_n-1=2n²-2（n-1）²=4n-2，
当n=1时，4n-2=2=a₁，
∴a_n=4n-2．
（2）证明：∵数列{b_n}的前n项和是T_n且．n∈N^*，
∴T_n=1-，
当n=1时，，解得；
当n≥2时，，②
①-②，得b_n=，
∴，
又∵b₁=，
∴=，
∴数列{b_n}是以为首项，为公比的等比数列．
（3）证明：由（2）得b_n=，
∴c_n=a_n•b_n=（4n-2）•=．
∴c_n+1-c_n==，
∵n≥1，∴c_n+1-c_n≤0，
故c_n+1≤c_n．所以数列是递减数列
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的证明，考查不等式的证明．解题时要认真审题，注意构造法和作差相减法的合理运用．