Question

已知函数f（x）=ax²+2lnx（a∈R），设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为l，
（1）求直线l的方程；
（2）若直线l与圆C：x²+y²=1相切，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由题意求出导数和f（1），再求出f′（1）即为切线的斜率，代入直线的点斜式进行化简；
（2）由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，列出方程求出a的值．

解答：解：（1）依题意有：f（1）=a，f′(x)=2ax+

2

x

，
∴f′（1）=2a+2，
则在点（1，f（1））处的切线l的方程为y-a=2（a+1）（x-1），
即2（a+1）x-y-2-a=0，
（2）∵直线l与圆C：x²+y²=1相切，
∴

|-2-a|

4(a+1)2+1

=1，解得a=-

1

3

或a=-1，
∴a的值为-

1

3

或-1．

点评：本题考查了导数的几何意义，点到直线的距离公式的应用，以及直线与圆相切的充要条件．