Question

已知数列{a_n}为等差数列，公差为d，{b_n}为等比数列，公比为q，且d=q=2，b₃+1=a₁₀=5，设c_n=a_nb_n．
（1）求数列{c_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}的前n项和为S_n，
（3）（理）求

lim

n→∞

nbn

Sn

的值．

Answer 1

（1）∵a₁₀=5，d=2，∴a_n=2n-15．
又∵b₃=4，q=2，∴b_n=2^n-1，∴c_n=（2n-15）•2^n-1．
（2）∵S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，∴2S_n=2c₁+2c₂+2c₃+…+2c_n，
错位相减，得-S_n=c₁+（c₂-2c₁）+（c₃-2c₂）+…+（c_n-2c_n-1）-2c_n．
∵c₁=-13，c_n-2c_n-1=2ⁿ，
∴-S_n=-13+2²+2³+…+2ⁿ-（2n-15）•2ⁿ=-13+4（2^n-1-1）-（2n-15）•2ⁿ
=-17+2ⁿ⁺¹-（2n-15）•2ⁿ∴S_n=17+（2n-17）•2ⁿ．
∴

lim

n→∞

nbn

Sn

=

lim

n→∞

 

n•2n-1

17+(2n-17)•2n

=

lim

n→∞

 

n

17 2n-1 +(2n-17)•2

=

1

4

．