题目内容

已知函数f（x）定义域为（0，+∞），且满足f（4）=1，f（xy）=f（x）+f（y）；
则（1 ）f（1）=；（2）f（ $数学公式$ ）=．

解：（1）由题设条件，令x=1，y=4，又f（xy）=f（x）+f（y）；
可得f（4）=f（1×4）=f（1）+f（4），
∴f（1）=0；
（2）∵f（16）=f（4×4）=f（4）+f（4）=2，
又f（1）=f（ $\text{[math]}$ ）=f（16）+f（ $\text{[math]}$ ）=0；
∴f（ $\text{[math]}$ ）=-2．
故答案为：0；-2
分析：由f（xy）=f（x）+f（y）联想“模型函数”y=log_a^x（a＞0，a≠1）及其运算性质，采取赋值的办法构造出关于f（1），与f（ $\text{[math]}$ ）的方程求值．（1）由题设条件可令x=1，y=4，构建关于f（1）的方程；
（2）由于1= $\text{[math]}$ ，16=4×4，故可先求出f（16），再求f（ $\text{[math]}$ ）
点评：本题的考点是抽象函数及其应用，考查根据抽象函数的性质通过赋值的方式求函数值，利用赋值的方式求值是抽象函数求函数值的常用手段，本题属于函数知识综合运用题，需要根据题目中的条件进行灵活赋值以达到求值的目的，请注意本题中构造的技巧．

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已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(

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是否满足这些条件；
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已知函数f（x）定义在R上，并且对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x≠y时，f（x）≠f（y），x＞0时，有f（x）＞0．
（1）判断f（x）的奇偶性；
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（2009•连云港二模）已知函数f（x）定义在正整数集上，且对于任意的正整数x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），且f（1）=2，f（3）=6，则f（2009）=

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）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（

），又数列{a_n}满足：a₁=

．
（I）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（II）求f（a_n）关于n的函数解析式；
（III）令g（n）=f（a_n）且数列{a_n}满足b_n=

，若对于任意n∈N⁺，都有b₁+b₂+…+bn＜t2-3t恒成立，求实数t的取值范围．

已知函数f（x）定义在R上，对任意的x∈R，f(x+1001)=

，已知f（11）=1，则f（2013）=