Question

如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.

(1)证明PA∥平面EDB;

(2)证明PB⊥平面EFD;

(3)求二面角CPBD的大小.

Answer 1

(1)证明:连结AC交BD于点O,连结EO.

∵底面ABCD是正方形,

∴点O是AC的中点.

在△PAC中,EO是中位线,

∴PA∥EO.

而EO平面EDB且PA平面EDB,

∴PA∥平面EDB.

(2)证明:∵PD⊥底面ABCD,且DC底面ABCD,∴PD⊥DC.

∵PD=DC,可知△PDC是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,∴DE⊥PC.①

同样,由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.

∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,

∴BC⊥平面PDC.

而DE平面PDC,∴BC⊥DE.②

由①和②推得DE⊥平面PBC.

而PB平面PBC,∴DE⊥PB.

又EF⊥PB,且DE∩EF=E,

∴PB⊥平面EFD.

(3)解:由(2)知PB⊥DF,故∠EFD是二面角CPBD的平面角.

由(2)知,DE⊥EF,PD⊥DB.

设正方形ABCD的边长为a,

则PD=DC=a,BD=a,

PB=a,PC=a,DE=PC=a.

在Rt△PDB中,DF=a.

在Rt△EFD中,sin∠EFD=,

∴∠EFD=.

∴二面角CPBD的大小为.