Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知
（Ⅰ）求tan2A；
（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，进而利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，确定出tanA的值，将所求式子利用二次角的正切函数公式化简后，将tanA的值代入即可求出值；
（Ⅱ）由诱导公式化简sin（+B）=，求出cosB的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，由诱导公式及三角形内角和定理得到sinC=sin（A+B），利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入求出sinC的值，再由sinA与c的值，利用正弦定理求出a的值，由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
解答：解：（Ⅰ）∵a²-c²=b²-，即b²+c²-a²=，
∴cosA==，
∴sinA==，tanA=，
则tan2A===2；
（Ⅱ）由sin（+B）=，得cosB=，
∴sinB==，
则sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=，
由正弦定理=得：a==2，又c=2，
则△ABC的面积为S=acsinB=．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正切函数公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．