Question

设f(x)对一切自然数有定义,且①f(x)是整数;②f(2)=2;③f(m·n)=f(m)·f(n)对一切自然数成立;④当m＞n时,有f(m)＞f(n),试证:f(n)=n.

Answer 1

证明:(1)由于2=f(2)=f(1·2)=f(1)·f(2)=2f(1),∴f(1)=1,即n=1时,命题成立.

(2)设n≤k时,有f(k)=k.

当n=k+1时,若k+1为偶数,则k+1=2i(i∈N且i≤k),

∴f(k+1)=f(2i)=f(2)·f(i)=2i=k+1;若k+1为奇数,则k+2为偶数,即k+2=2(i+1)(i∈N且i+1≤k).

∴f(k+2)=f［2(i+1)］=f(2)·f(i+1)=2(i+1)=k+2.

由于k＜k+1＜k+2,

∴f(k)＜f(k+1)＜f(k+2)且f(n)为整数,故f(k+1)=k+1,即当n=k+1时结论成立.

由(1)(2),知对于n∈N都有f(n)=n.