题目内容
如图，过抛物线C：x2=4y的对称轴上一点P（0，m）（m＞0）作直线l与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，点Q是P关于原点的对称．（1）求证：x1x2=-4m；
（2）设P分有向线段
| AB |
| QP |
| QA |
| QB |
分析：（1）设l方程为：y=kx+m，与抛物线的方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系即可得出；
（2）由P分有向线段
所成的比为λ得
=-λ，利用
⊥(
-μ
)，可得
•(
-μ
)=0，即可得出．
（2）由P分有向线段
| AB |
| x1 |
| x2 |
| QP |
| QA |
| QB |
| QP |
| QA |
| QB |
解答：
证明：（1）设l方程为：y=kx+m，与抛物线的方程联立
得x2-4kx-4m=0，
∴x1x2=-4m．
（2）由P分有向线段
所成的比为λ得
=-λ，
∵
=（0，2m），
=(x1，y1+m)，
=(x2，y2+m)，
∴
-μ
=（x1-μx2，y1+m-μ（y2+m）），
∵
⊥(
-μ
)，∴2m[y1-μy2+（1-μ）m]=0，
又y1=
，y2=
．
∴
-μ
+(1-μ)m=0，
把x1x2=-4m代入上式得
-μ
+(1-μ)•
=0，
∴(
)2-(1-μ)
-μ=0，
化为λ2+（1-μ）λ-μ=0，
∴λ=-1或λ=μ，而显然λ＞0，
∴λ=μ．
证明：（1）设l方程为：y=kx+m，与抛物线的方程联立
|
∴x1x2=-4m．
（2）由P分有向线段
| AB |
| x1 |
| x2 |
∵
| QP |
| QA |
| QB |
∴
| QA |
| QB |
∵
| QP |
| QA |
| QB |
又y1=
| ||
| 4 |
| ||
| 4 |
∴
| x12 |
| 4 |
| x22 |
| 4 |
把x1x2=-4m代入上式得
| ||
| 4 |
| ||
| 4 |
| -x1x2 |
| 4 |
∴(
| x1 |
| x2 |
| x1 |
| x2 |
化为λ2+（1-μ）λ-μ=0，
∴λ=-1或λ=μ，而显然λ＞0，
∴λ=μ．
点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法，属于难题．
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