Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，x∈R）在一个周期内的图象如图所示，求直线y=

3

与函数f（x）图象的所有交点的坐标．

Answer 1

分析：根据函数的最大值，得到A=2．由函数的周期为4，算出ω=

1

2

，再根据当x=

π

2

时，函数f（x）有最大值为2，解出φ=

π

4

．因此得到f（x）=2sin（

1

2

x+

π

4

），然后解方程2sin（

1

2

x+

π

4

）=

3

，结合正弦函数的图象可得x=

π

6

+4kπ或

5π

6

+4kπ（k∈Z），由此即可得到直线y=

3

与函数f（x）图象的所有交点的坐标．

解答：解：根据题意，得A=2，T=

2π

ω

=4π，可得ω=

1

2

∵当x=

π

2

时，函数f（x）有最大值为2
∴ω×

π

2

+φ=

1

2

×

π

2

+φ=

π

2

+2kπ（k∈Z），解之得φ=

π

4

+2kπ（k∈Z），取k=0得φ=

π

4

因此，函数表达式为f（x）=2sin（

1

2

x+

π

4

）
当f（x）=

3

时，即2sin（

1

2

x+

π

4

）=

3

，可得sin（

1

2

x+

π

4

）=

3

2

∴

1

2

x+

π

4

=

π

3

+2kπ或

1

2

x+

π

4

=

2π

3

+2kπ（k∈Z），可得x=

π

6

+4kπ或

5π

6

+4kπ（k∈Z）
由此可得，直线y=

3

与函数f（x）图象的所有交点的坐标为（

π

6

+4kπ，

3

）或（

5π

6

+4kπ，

3

）（k∈Z）．

点评：本题给出函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，要我们确定其解析式并求函数图象与y=

3

的交点坐标，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识点，属于基础题．