Question

（07年全国卷Ⅰ）四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，已知，，，。

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小。

Answer 1

解析：解法一：（1）作，垂足为，连结，

由侧面底面，得底面．

因为，所以，

又，故为等腰直角三角形，，

由三垂线定理，得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

依题设，

故，由，

，

．

又，作，垂足为，

则平面，连结．为直线与平面所成的角．

所以，直线与平面所成的角为．

解法二：

（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．

因为，所以．

又，为等腰直角三角形，．

如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，

因为，

，

又，所以，

，．

，，

，，所以．

（Ⅱ），.

与的夹角记为，与平面所成的角记为，因为为平面的法向量，所以与互余．

，，

所以，直线与平面所成的角为．