Question

如图，在平面四边形ABCD中，△BCD是正三角形，AB=AD=1，∠BAD=θ．
（Ⅰ）将四边形ABCD的面积S表示成关于θ的函数；
（Ⅱ）求S的最大值及此时θ的值．

Answer 1

（Ⅰ）BD=

12+12-2×1×1cosθ

=

2-2cosθ

，
S△ABD=

1

2

×1×1×sinθ=

1

2

sinθ，
S△BCD=

3

4

×BD2=

3

4

(2-2cosθ)=

3

2

-

3

2

cosθ，
∴SABCD=

1

2

sinθ-

3

2

cosθ+

3

2

（0＜θ＜π）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得SABCD=

1

2

sinθ-

3

2

cosθ+

3

2

=sin(θ-

π

3

)+

3

2

，
∵0＜θ＜π，∴-

π

3

＜θ-

π

3

＜

2π

3

，
当θ-

π

3

=

π

2

时，即θ=

5π

6

时，S有最大值1+

3

2

．